拓扑排序与Kahn算法

定义

拓扑排序（Topological sorting）要解决的问题是如何给一个有向无环图的所有节点排序。

我们可以拿大学每学期排课的例子来描述这个过程，比如学习大学课程中有：「程序设计」，「算法语言」，「高等数学」，「离散数学」，「编译技术」，「普通物理」，「数据结构」，「数据库系统」等。按照例子中的排课，当我们想要学习「数据结构」的时候，就必须先学会「离散数学」，学习完这门课后就获得了学习「编译技术」的前置条件。当然，「编译技术」还有一个更加前的课程「算法语言」。这些课程就相当于几个顶点 $u$, 顶点之间的有向边 $(u,v)$ 就相当于学习课程的顺序。教务处安排这些课程，使得在逻辑关系符合的情况下排出课表，就是拓扑排序的过程。

但是如果某一天排课的老师打瞌睡了，说想要学习 数据结构，还得先学 操作系统，而 操作系统 的前置课程又是 数据结构，那么到底应该先学哪一个（不考虑同时学习的情况）？在这里，数据结构 和 操作系统 间就出现了一个环，显然同学们现在没办法弄清楚自己需要先学什么了，也就没办法进行拓扑排序了。因为如果有向图中存在环路，那么我们就没办法进行拓扑排序。

因此我们可以说 在一个DAG（有向无环图）中，我们将图中的顶点以线性方式进行排序，使得对于任何的顶点 $u$ 到 $v$ 的有向边 $(u,v)$, 都可以有 $u$ 在 $v$ 的前面。

还有给定一个 DAG，如果从 $i$ 到 $j$ 有边，则认为 $j$ 依赖于 $i$。如果 $i$ 到 $j$ 有路径（$i$ 可达 $j$），则称 $j$ 间接依赖于 $i$。

拓扑排序的目标是将所有节点排序，使得排在前面的节点不能依赖于排在后面的节点。

Kahn 算法

构造拓扑序列步骤

1. 从图中选择一个入度为零的点。
2. 输出该顶点，从图中删除此顶点及其所有的出边。

重复上面两步，直到所有顶点都输出，拓扑排序完成，或者图中不存在入度为零的点，此时说明图是有环图，拓扑排序无法完成，陷入死锁。

过程

初始状态下，集合 $S$ 装着所有入度为 $0$ 的点，$L$ 是一个空列表。

每次从 $S$ 中取出一个点 $u$（可以随便取）放入 $L$, 然后将 $u$ 的所有边 $(u, v_1), (u, v_2), (u, v_3) \cdots$ 删除。对于边 $(u, v)$，若将该边删除后点 $v$ 的入度变为 $0$，则将 $v$ 放入 $S$ 中。

不断重复以上过程，直到集合 $S$ 为空。检查图中是否存在任何边，如果有，那么这个图一定有环路，否则返回 $L$，$L$ 中顶点的顺序就是构造拓扑序列的结果。

代码的核心是维持一个入度为 0 的顶点的集合。

可以参考该图

对其排序的结果就是：2 -> 8 -> 0 -> 3 -> 7 -> 1 -> 5 -> 6 -> 9 -> 4 -> 11 -> 10 -> 12

时间复杂度

假设这个图 $G = (V, E)$ 在初始化入度为 $0$ 的集合 $S$ 的时候就需要遍历整个图，并检查每一条边，因而有 $O(E+V)$ 的复杂度。然后对该集合进行操作，显然也是需要 $O(E+V)$ 的时间复杂度。

因而总的时间复杂度就有 $O(E+V)$

实现

int n, m;
vector<int> G[MAXN];
int in[MAXN];  // 存储每个结点的入度
 
bool toposort() {
  vector<int> L;
  queue<int> S;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (in[i] == 0) S.push(i);
  while (!S.empty()) {
    int u = S.front();
    S.pop();
    L.push_back(u);
    for (auto v : G[u]) {
      if (--in[v] == 0) {
        S.push(v);
      }
    }
  }
  if (L.size() == n) {
    for (auto i : L) cout << i << ' ';
    return true;
  }
  return false;
}

例题：