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本页面将简要介绍如何用 Splay 维护二叉查找树。

定义

Splay 树，或 伸展树，是一种平衡二叉查找树，它通过 伸展（splay）操作 不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，能够在均摊 $O(\log N)$ 时间内完成插入、查找和删除操作，并且保持平衡而不至于退化为链。

Splay 树由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 于 1985 年发明。

基本结构与操作

本节讨论 Splay 树的基本结构和它的核心操作，其中最为重要的是伸展操作。

Splay 树是一棵二叉查找树，查找某个值时满足性质：左子树任意节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树任意节点的值。

维护信息

本文使用数组模拟指针来实现 Splay 树，需要维护如下信息：

rt	id	fa[i]	ch[i][0/1]	val[i]	cnt[i]	sz[i]
根节点编号	已使用节点个数	父亲	左右儿子编号	节点权值	权值出现次数	子树大小

初始化时，所有信息都置零即可。

辅助操作

首先是一些简单的辅助操作：

dir(x)：判断节点 $x$ 是父亲节点的左儿子还是右儿子；
push_up(x)：在改变节点位置后，根据子节点信息更新节点 $x$ 的信息。

bool dir(int x) { return x == ch[fa[x]][1]; }
 
void push_up(int x) { sz[x] = cnt[x] + sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]]; }

旋转操作

为了使 Splay 保持平衡，需要进行旋转操作。旋转的作用是将某个节点上移一个位置。

旋转需要保证：

整棵 Splay 的中序遍历不变（不能破坏二叉查找树的性质）；
受影响的节点维护的信息依然正确有效；
rt 必须指向旋转后的根节点。

在 Splay 中旋转分为两种：左旋和右旋。

观察图示可知，如果要通过旋转将节点 $x$ （左旋时的 $1$ 和右旋时的 $2$ ）上移，则旋转的方向由该节点是其父节点的左节点还是右节点唯一确定。因此，实现旋转操作时，只需要将要上移的节点 $x$ 传入即可。

具体分析旋转步骤：（假设需要上移的节点为 $x$ ，以右旋为例）

首先，记录节点 $x$ 的父节点 $y$ ，以及 $y$ 的父节点 $z$ （可能为空），并记录 $x$ 是 $y$ 的左子节点还是右子节点；
按照旋转后的树中自下向上的顺序，依次更新 $y$ 的左子节点为 $x$ 的右子节点， $x$ 的右子节点为 $y$ ，以及若 $z$ 非空， $z$ 的子节点为 $x$ ；
按照同样的顺序，依次更新当前 $y$ 的左子节点（若存在）的父节点为 $y$ ， $y$ 的父节点为 $x$ ，以及 $x$ 的父节点为 $z$ ；
自下而上维护节点信息。

void rotate(int x) {
  int y = fa[x], z = fa[y];
  bool r = dir(x);
  ch[y][r] = ch[x][!r];
  ch[x][!r] = y;
  if (z) ch[z][dir(y)] = x;
  if (ch[y][r]) fa[ch[y][r]] = y;
  fa[y] = x;
  fa[x] = z;
  push_up(y);
  push_up(x);
}

在所有函数的实现时，都应注意不要修改节点 $0$ 的信息。

伸展操作

Splay 树要求每访问一个节点 $x$ 后都要强制将其旋转到根节点。该操作也称为伸展操作。

设刚访问的节点为 $x$ 。要做伸展操作，就是要对 $x$ 做一系列的 伸展步骤。每次对 $x$ 做一次伸展步骤， $x$ 到根节点的距离都会更近。定义 $p$ 为 $x$ 的父节点。伸展步骤有三种：

zig: 在 $p$ 是根节点时操作。Splay 树会根据 $x$ 和 $p$ 间的边旋转。zig 存在是用于处理奇偶校验问题，仅当 $x$ 在伸展操作开始时具有奇数深度时作为伸展操作的最后一步执行。

即直接将 $x$ 右旋或左旋（图 1, 2）。

zig-zig: 在 $p$ 不是根节点且 $x$ 和 $p$ 都是右侧子节点或都是左侧子节点时操作。下方例图显示了 $x$ 和 $p$ 都是左侧子节点时的情况。Splay 树首先按照连接 $p$ 与其父节点 $g$ 边旋转，然后按照连接 $x$ 和 $p$ 的边旋转。

即首先将 $p$ 右旋或左旋，然后将 $x$ 右旋或左旋（图 3, 4）。

zig-zag: 在 $p$ 不是根节点且 $x$ 和 $p$ 一个是右侧子节点一个是左侧子节点时操作。Splay 树首先按 $p$ 和 $x$ 之间的边旋转，然后按 $x$ 和 $g$ 新生成的结果边旋转。

即将 $x$ 先左旋再右旋或先右旋再左旋（图 5, 6）。

请读者尝试自行模拟 $6$ 种旋转情况，以理解伸展操作的基本思想。

比较三种伸展步骤可知，要区分此时应使用哪种操作，关键是要判断 $x$ 是否是根节点的子节点，以及 $x$ 和它父节点是否在各自的父节点同侧。

此处提供的实现，可以指定任意根节点 $z$ ，并将它的子树内任意节点 $x$ 上移至 $z$ 处：

首先记录根节点 $z$ 的父节点 $w$ ，从而可以利用 fa[x] == w 判断 $x$ 已经位于根结点处；
记录 $x$ 当前的父节点 $y$ ，如果 $y$ 和 $w$ 相同，说明 $x$ 已经到达根节点；
否则，利用 fa[y] == w 判断 $y$ 是否是根节点。如果是，直接做 zig 操作将 $x$ 旋转；如果不是，利用 dir(x) == dir(y) 判断使用 zig-zig 还是 zig-zag，前者先旋转 $y$ 再旋转 $x$ ，后者直接旋转两次 $x$ 。

void splay(int& z, int x) {
  int w = fa[z];
  for (int y; (y = fa[x]) != w; rotate(x)) {
    if (fa[y] != w) rotate(dir(x) == dir(y) ? y : x);
  }
  z = x;
}

伸展操作是 Splay 树的核心操作，也是它的时间复杂度能够得到保证的关键步骤。请务必保证每次向下访问节点后，都进行一次伸展操作。

另外，伸展操作会将当前节点 $x$ 到根节点 $z$ 的路径上的所有节点信息自下而上地更新一遍。正是因为这一点，才可以修改非根节点，再通过伸展操作将它上移至根来完成整个树的信息更新。

void find(int& z, int v) {
  int x = z, y = fa[x];
  for (; x && val[x] != v; x = ch[y = x][v > val[x]]);
  splay(z, x ? x : y);
}

该实现允许指定任何节点 $z$ 作为根节点，并在它的子树内按值查找。

按照排名访问

因为记录了子树大小信息，所以 Splay 树还可以通过排名访问元素，即查找树中第 $k$ 小的元素。

设 $k$ 为剩余排名，具体步骤如下：

如果左子树非空且剩余排名 $k$ 不大于左子树的大小，那么向左子树查找；
否则，如果 $k$ 不大于左子树加上根的大小，那么根节点就是要寻找的；
否则，将 $k$ 减去左子树的和根的大小，继续向右子树查找；
将最终找到的元素上移至根部。

void loc(int& z, int k) {
  int x = z;
  for (;;) {
    if (sz[ch[x][0]] >= k) {
      x = ch[x][0];
    } else if (sz[ch[x][0]] + cnt[x] >= k) {
      break;
    } else {
      k -= sz[ch[x][0]] + cnt[x];
      x = ch[x][1];
    }
  }
  splay(z, x);
}

该实现需要保证排名 $k$ 不超过根 $z$ 处的树大小。

模板题目中操作 $4$ 要求按照排名返回值，直接调用该方法，并返回值即可。

int find_kth(int k) {
  if (k > sz[rt]) return -1;
  loc(rt, k);
  return val[rt];
}

合并操作

有些时候需要合并两棵 Splay 树。

设两棵树的根节点分别为 $x$ 和 $y$ ，那么为了保证结果仍是二叉查找树，需要要求 $x$ 树中的最大值小于 $y$ 树中的最小值。这条件通常都可以满足，因为两棵树往往是从更大的子树中分裂出的。

合并操作如下：

如果 $x$ 和 $y$ 其中之一或两者都为空树，直接返回不为空的那一棵树的根节点或空树；
否则，通过 loc(y, 1) 将 $y$ 树中的最小值上移至根 $y$ 处，再将它的左节点（此时必然为空）设置为 $x$ ，并更新节点信息，返回节点 $y$ 。

int merge(int x, int y) {
  if (!x || !y) return x | y;
  loc(y, 1);
  ch[y][0] = x;
  fa[x] = y;
  push_up(y);
  return y;
}

分裂操作类似。因而，Splay 树可以模拟无旋 treap 的思路做各种操作，包括区间操作。后文会介绍更具有 Splay 树风格的区间操作处理方法。

插入操作

插入操作是一个比较复杂的过程。具体步骤如下：（假设插入的值为 $v$ ）

类似按值查找的过程，根据 $v$ 向下查找到存储 $v$ 的节点或者空节点，过程中记录父节点 $y$ ；
如果存在存储 $v$ 的节点 $x$ ，直接更新信息，否则就新建节点 $x$ ；
做伸展操作，将最后一个节点 $x$ 上移至根部。

void insert(int v) {
  int x = rt, y = 0;
  for (; x && val[x] != v; x = ch[y = x][v > val[x]]);
  if (x) {
    ++cnt[x];
    ++sz[x];
  } else {
    x = ++id;
    val[x] = v;
    cnt[x] = sz[x] = 1;
    fa[x] = y;
    if (y) ch[y][v > val[y]] = x;
  }
  splay(rt, x);
}

该实现允许直接向空树内插入值。若不想处理空树，可以在树中提前插入哑节点。

删除操作

删除操作也是一个比较复杂的操作。具体步骤如下：（假设删除的值为 $v$ ）

首先按照值 $v$ 查找存储它的节点，并上移至根部；
如果不存在存储它的节点，直接返回；（上一步已经做了伸展操作）
否则，更新节点信息；
如果得到的根节点为空节点，就合并左右子树作为新的根节点，注意合并前需要更新两个子树的根的父节点为空。

bool remove(int v) {
  find(rt, v);
  if (!rt || val[rt] != v) return false;
  --cnt[rt];
  --sz[rt];
  if (!cnt[rt]) {
    int x = ch[rt][0];
    int y = ch[rt][1];
    fa[x] = fa[y] = 0;
    rt = merge(x, y);
  }
  return true;
}

查询排名

直接按照值 $v$ 访问节点（并上移至根），然后返回相应的值即可。

注意，当 $v$ 不存在时，方法 find(rt, v) 返回的根和 $v$ 的大小关系无法确定，需要单独讨论。

int find_rank(int v) {
  find(rt, v);
  return sz[ch[rt][0]] + (val[rt] < v ? cnt[rt] : 0) + 1;
}

查询前驱

前驱定义为小于 $v$ 的最大的数。具体步骤如下：

按照值 $v$ 访问节点（并上移至根部）；
如果根部的值小于 $v$ ，那么它必然是最大的那个，直接返回；
否则，在左子树中找到最大值，并上移至根部。

最后一步相当于直接调用 loc(ch[rt][0], cnt[ch[rt][0]])，只是省去了不必要的判断。

int find_prev(int v) {
  find(rt, v);
  if (rt && val[rt] < v) return val[rt];
  int x = ch[rt][0];
  if (!x) return -1;
  for (; ch[x][1]; x = ch[x][1]);
  splay(rt, x);
  return val[rt];
}

该实现允许前驱不存在，此时返回 $-1$ 。

查询后继

后继定义为大于 $x$ 的最小的数。查询方法和前驱类似，只是将左子树的最大值换成了右子树的最小值，即调用 loc(ch[rt][1], 1)。

int find_next(int v) {
  find(rt, v);
  if (rt && val[rt] > v) return val[rt];
  int x = ch[rt][1];
  if (!x) return -1;
  for (; ch[x][0]; x = ch[x][0]);
  splay(rt, x);
  return val[rt];
}

参考实现

本节的最后，给出模板的参考实现。

#include <iostream>
 
constexpr int N = 2e6;
int id, rt;
int fa[N], val[N], cnt[N], sz[N], ch[N][2];
 
bool dir(int x) { return x == ch[fa[x]][1]; }
 
void push_up(int x) { sz[x] = cnt[x] + sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]]; }
 
void rotate(int x) {
  int y = fa[x], z = fa[y];
  bool r = dir(x);
  ch[y][r] = ch[x][!r];
  ch[x][!r] = y;
  if (z) ch[z][dir(y)] = x;
  if (ch[y][r]) fa[ch[y][r]] = y;
  fa[y] = x;
  fa[x] = z;
  push_up(y);
  push_up(x);
}
 
void splay(int& z, int x) {
  int w = fa[z];
  for (int y; (y = fa[x]) != w; rotate(x)) {
    if (fa[y] != w) rotate(dir(x) == dir(y) ? y : x);
  }
  z = x;
}
 
void find(int& z, int v) {
  int x = z, y = fa[x];
  for (; x && val[x] != v; x = ch[y = x][v > val[x]]);
  splay(z, x ? x : y);
}
 
void loc(int& z, int k) {
  int x = z;
  for (;;) {
    if (sz[ch[x][0]] >= k) {
      x = ch[x][0];
    } else if (sz[ch[x][0]] + cnt[x] >= k) {
      break;
    } else {
      k -= sz[ch[x][0]] + cnt[x];
      x = ch[x][1];
    }
  }
  splay(z, x);
}
 
int merge(int x, int y) {
  if (!x || !y) return x | y;
  loc(y, 1);
  ch[y][0] = x;
  fa[x] = y;
  push_up(y);
  return y;
}
 
void insert(int v) {
  int x = rt, y = 0;
  for (; x && val[x] != v; x = ch[y = x][v > val[x]]);
  if (x) {
    ++cnt[x];
    ++sz[x];
  } else {
    x = ++id;
    val[x] = v;
    cnt[x] = sz[x] = 1;
    fa[x] = y;
    if (y) ch[y][v > val[y]] = x;
  }
  splay(rt, x);
}
 
bool remove(int v) {
  find(rt, v);
  if (!rt || val[rt] != v) return false;
  --cnt[rt];
  --sz[rt];
  if (!cnt[rt]) {
    int x = ch[rt][0];
    int y = ch[rt][1];
    fa[x] = fa[y] = 0;
    rt = merge(x, y);
  }
  return true;
}
 
int find_rank(int v) {
  find(rt, v);
  return sz[ch[rt][0]] + (val[rt] < v ? cnt[rt] : 0) + 1;
}
 
int find_kth(int k) {
  if (k > sz[rt]) return -1;
  loc(rt, k);
  return val[rt];
}
 
int find_prev(int v) {
  find(rt, v);
  if (rt && val[rt] < v) return val[rt];
  int x = ch[rt][0];
  if (!x) return -1;
  for (; ch[x][1]; x = ch[x][1]);
  splay(rt, x);
  return val[rt];
}
 
int find_next(int v) {
  find(rt, v);
  if (rt && val[rt] > v) return val[rt];
  int x = ch[rt][1];
  if (!x) return -1;
  for (; ch[x][0]; x = ch[x][0]);
  splay(rt, x);
  return val[rt];
}
 
int main() {
  int n;
  std::cin >> n;
  for (; n; --n) {
    int op, x;
    std::cin >> op >> x;
    switch (op) {
      case 1:
        insert(x);
        break;
      case 2:
        remove(x);
        break;
      case 3:
        std::cout << find_rank(x) << '\n';
        break;
      case 4:
        std::cout << find_kth(x) << '\n';
        break;
      case 5:
        std::cout << find_prev(x) << '\n';
        break;
      case 6:
        std::cout << find_next(x) << '\n';
        break;
    }
  }
  return 0;
}

例题：

Status

Problem

Splay树

定义