ST表

定义

ST 表（Sparse Table，稀疏表）是用于解决 可重复贡献问题 的数据结构。

引入

考虑暴力做法。每次都对区间 $[l,r]$ 扫描一遍，求出最大值。

显然，这个算法会超时。

ST 表

ST 表基于倍增思想，可以做到 $\Theta(n\log n)$ 预处理，$\Theta(1)$ 回答每个询问。但是不支持修改操作。

基于倍增思想，我们考虑如何求出区间最大值。可以发现，如果按照一般的倍增流程，每次跳 $2^i$ 步的话，询问时的复杂度仍旧是 $\Theta(\log n)$，并没有比线段树更优，反而预处理一步还比线段树慢。

我们发现 $\max(x,x)=x$，也就是说，区间最大值是一个具有「可重复贡献」性质的问题。即使用来求解的预处理区间有重叠部分，只要这些区间的并是所求的区间，最终计算出的答案就是正确的。

如果手动模拟一下，可以发现我们能使用至多两个预处理过的区间来覆盖询问区间，也就是说询问时的时间复杂度可以被降至 $\Theta(1)$，在处理有大量询问的题目时十分有效。

具体实现如下：

令 $f(i,j)$ 表示区间 $[i,i+2^j-1]$ 的最大值。

显然 $f(i,0)=a_i$。

根据定义式，第二维就相当于倍增的时候「跳了 $2^j-1$ 步」，依据倍增的思路，写出状态转移方程：$f(i,j)=\max(f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))$。

以上就是预处理部分。而对于查询，可以简单实现如下：

对于每个询问 $[l,r]$，我们把它分成两部分：$[l,l+2^s-1]$ 与 $[r-2^s+1,r]$，其中 $s=\left\lfloor\log_2(r-l+1)\right\rfloor$。两部分的结果的最大值就是回答。

根据上面对于「可重复贡献问题」的论证，由于最大值是「可重复贡献问题」，重叠并不会对区间最大值产生影响。又因为这两个区间完全覆盖了 $[l,r]$，可以保证答案的正确性。

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
constexpr int MAXN = 2000001;
constexpr int logN = 21;
int f[MAXN][logN + 1], Logn[MAXN + 1];
 
void pre() {  // 准备工作，初始化
  Logn[1] = 0;
  Logn[2] = 1;
  for (int i = 3; i < MAXN; i++) {
    Logn[i] = Logn[i / 2] + 1;
  }
}
 
int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  int n, m;
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> f[i][0];
  pre();
  for (int j = 1; j <= logN; j++)
    for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
      f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);  // ST表具体实现
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    int s = Logn[y - x + 1];
    cout << max(f[x][s], f[y - (1 << s) + 1][s]) << '\n';
  }
  return 0;
}

注意点

1. 输入输出数据一般很多，建议开启输入输出优化。

2. 每次用库自带的log函数重新计算 log 函数值并不值得，建议进行如下的预处理：

ST 表维护其他信息

除 RMQ 以外，还有其它的「可重复贡献问题」。例如「区间按位与」、「区间按位或」、「区间 GCD」，ST 表都能高效地解决。

需要注意的是，对于「区间 GCD」，ST 表的查询复杂度并没有比线段树更优（令值域为 $w$，ST 表的查询复杂度为 $\Theta(\log w)$，而线段树为 $\Theta(\log n+\log w)$，且值域一般是大于 $n$ 的），但是 ST 表的预处理复杂度也没有比线段树更劣，而编程复杂度方面 ST 表比线段树简单很多。

如果分析一下，「可重复贡献问题」一般都带有某种类似 RMQ 的成分。例如「区间按位与」就是每一位取最小值，而「区间 GCD」则是每一个质因数的指数取最小值。

总结

ST 表能较好的维护「可重复贡献」的区间信息（同时也应满足结合律），时间复杂度较低，代码量相对其他算法很小。但是，ST 表能维护的信息非常有限，不能较好地扩展，并且不支持修改操作。

例题：