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引入

DFS 全称是 Depth First Search，中文名是深度优先搜索，是一种用于遍历或搜索树或图的算法。所谓深度优先，就是说每次都尝试向更深的节点走。

该算法讲解时常常与 BFS 并列，但两者除了都能遍历图的连通块以外，用途完全不同，很少有能混用两种算法的情况。

DFS 常常用来指代用递归函数实现的搜索，但实际上两者并不一样。有关该类搜索思想请参阅 DFS（搜索）.

过程

DFS 最显著的特征在于其 递归调用自身。同时与 BFS 类似，DFS 会对其访问过的点打上访问标记，在遍历图时跳过已打过标记的点，以确保 每个点仅访问一次。符合以上两条规则的函数，便是广义上的 DFS。

具体地说，DFS 大致结构如下：

DFS(v) // v 可以是图中的一个顶点，也可以是抽象的概念，如 dp 状态等。在 v 上打访问标记 for u in v 的相邻节点 if u 没有打过访问标记 then DFS(u) end end end

以上代码只包含了 DFS 必需的主要结构。实际的 DFS 会在以上代码基础上加入一些代码，利用 DFS 性质进行其他操作。

性质

该算法通常的时间复杂度为 $O(n+m)$ ，空间复杂度为 $O(n)$ ，其中 $n$ 表示点数， $m$ 表示边数。注意空间复杂度包含了栈空间，栈空间的空间复杂度是 $O(n)$ 的。在平均 $O(1)$ 遍历一条边的条件下才能达到此时间复杂度，例如用前向星或邻接表存储图；如果用邻接矩阵则不一定能达到此复杂度。

备注：目前大部分算法竞赛（包括 NOIP、大部分省选以及 CCF 举办的各项赛事）都支持 无限栈空间，即：栈空间不单独限制，但总内存空间仍然受题面限制。但大部分操作系统会对栈空间做额外的限制，因此在本地调试时需要一些方式来取消栈空间限制。

在 Windows 上，通常的方法是在 编译选项 中加入 -Wl,--stack=1000000000，表示将栈空间限制设置为 1000000000 字节。

在 Linux 上，通常的方法是在运行程序前 在终端内 执行 ulimit -s unlimited，表示栈空间无限。每个终端只需执行一次，对之后每次程序运行都有效。

实现

栈实现

DFS 可以使用栈（Stack）为遍历中节点的暂存容器来实现；这与用队列（Queue）实现的 BFS 形成高度对应。

参考代码

vector<vector<int>> adj;  // 邻接表
vector<bool> vis;         // 记录节点是否已经遍历
 
void dfs(int s) {
  stack<int> st;
  st.push(s);
  vis[s] = true;
 
  while (!st.empty()) {
    int u = st.top();
    st.pop();
 
    for (int v : adj[u]) {
      if (!vis[v]) {
        vis[v] = true;  // 确保栈里没有重复元素
        st.push(v);
      }
    }
  }
}

递归实现

函数在递归调用时的求值如同对栈的添加和删除元素的顺序，故函数调用所占据的虚拟地址被称为函数调用栈（Call Stack），DFS 可用递归的方式实现。

以邻接表（Adjacency List）作为图的存储方式：

参考代码

vector<vector<int>> adj;  // 邻接表
vector<bool> vis;         // 记录节点是否已经遍历
 
void dfs(const int u) {
  vis[u] = true;
  for (int v : adj[u])
    if (!vis[v]) dfs(v)
}

以链式前向星为例：

参考代码

void dfs(int u) {
  vis[u] = 1;
  for (int i = head[u]; i; i = e[i].x) {
    if (!vis[e[i].t]) {
      dfs(v);
    }
  }
}

注：树的 DFS 序列也是不唯一的。

在 DFS 过程中，通过记录每个节点从哪个点访问而来，可以建立一个树结构，称为 DFS 树。DFS 树是原图的一个生成树。

图上DFS

引入

过程

性质

实现

栈实现

递归实现

DFS 序列

括号序列

一般图上 DFS

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