一、集合的概念

一、集合的基本概念与性质

1. 集合的定义

集合是由确定的、互不相同的元素组成的无序整体。

• 确定性：元素是否属于集合有明确判定（如“所有正数”是集合，“所有大数”不是）。
• 互异性：集合中元素唯一（如 {1, 2, 2} 非法，应写作 {1, 2}）。
• 无序性：集合中元素顺序无关（如 {1, 2} 与 {2, 1} 是同一集合）。

2. 常见表示方法

• 列举法：直接列出元素，如 A = {1, 2, 3}。
• 描述法：用条件描述元素，如 B = {x | x ∈ ℕ, x ≤ 10}。
• 符号表示：
  • $x \in A$：$x$ 属于集合 $A$；
  • $x \notin A$：$x$ 不属于集合 $A$；
  • $|A|$：集合 $A$ 的元素个数（基数）。

3. 特殊集合

• 空集：不含任何元素，记作 $\emptyset$，是所有集合的子集。
• 全集：包含讨论范围内所有元素的集合，记作 $U$。

二、集合的关系与运算

1. 集合间的关系

• 子集：若 $\forall x \in A \Rightarrow x \in B$，则 $A \subseteq B$（$A$ 是 $B$ 的子集）。
• 真子集：若 $A \subseteq B$ 且 $A \neq B$，则 $A \subset B$。
• 相等：若 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$。

2. 基本运算

3. 运算性质

• 交换律：$A \cup B = B \cup A$，$A \cap B = B \cap A$。
• 结合律：$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$，类似适用于交集。
• 分配律：$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$，$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$。
• 德摩根定律：$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$，$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$。